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高中数理化

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2025年15期

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名师工作室 | 从丹德林双球到圆锥曲线

名师工作室 | 从丹德林双球到圆锥曲线

1当球体遇见圆锥跨越两个世纪的几何启示 1822年，比利时数学家丹德林首次提出用双球内切圆锥的方法证明圆锥曲线的焦点性质，并构建了丹德林双球模型.在该模型中，若两球分别位于截平面异侧，则截面与圆锥侧面的交线为椭圆；若两球位于截平面同侧，则截面与圆锥侧面的交线为双曲线；抛物线情形下仅存在单球（可视为另一球趋于无穷远）.在这之前，使用截面方法或建立空间坐标系使用解析几何的方法来探究椭圆、双曲线和抛
高考全关注 | 利用和差化积与积化和差公式解高考题

高考全关注 | 利用和差化积与积化和差公式解高考题

利用和差化积与积化和差公式解高考题
高考全关注 | 回归本质突破套路

高考全关注 | 回归本质突破套路

题目（2025年新高考Ⅱ卷18）已知函数，其中（1）证明： f（x）在（0，+∞ ）上存在唯一的极值点和唯一的零点. （2）设 x1，x2 分别为 f（x）在（0，+∞ 上的极值点和零点. （i）设函数 g（t）=f（x1+t）-f（x1-t），证明：g（t）在（0，x1）上单调递减; （i）比较 2x1 与 x2 的大小，并证明你的结论. 分析（1）求导得
高考全关注 | 强化学科素养考查关键能力

高考全关注 | 强化学科素养考查关键能力

2025年数学新高考I卷继续坚持价值引领、素养导向、能力为重、知识为基的命题原则.试题强化基础知识，突出关键能力，重视数学本质，突出理性思维和科学精神，素养与能力并重、知识与应用结合.试题加强教考衔接，服务“双减”政策落实，助力基础教育提质增效.试题紧密结合实际生活以及学科文化，让学生感受和思考数学在社会生产、生活中的作用与魅力.试题兼具基础性、综合性、应用性和创新性，难度合理、区分度高，稳中有变
聚焦新课程 | 依托函数知识传承数学文化

聚焦新课程 | 依托函数知识传承数学文化

学习数学，从了解数学文化开始.高中数学的每一章章头图和每一篇引言，无不浸润了数学文化.高考命题中的数学文化试题更是屡见不鲜，这些以数学文化为背景的试题构思精巧、立意深远、内涵丰富，既能较好地把握时代的脉搏，契合当代数学学科核心素养，又能引导学生了解数学文明，传承数学文化，让数学扎根于文化泥土.本文擷取几道以函数知识为依托的数学文化题分类解析，以期使学生感悟数学文化，理解函数知识 1新型函数精彩纷
聚焦新课程 | 2025年高考的“秘密”藏在教材里

聚焦新课程 | 2025年高考的“秘密”藏在教材里

2025年高考的“秘密”藏在教材里
题根研究 | 基于问题本质合理转化突破导数压轴题

题根研究 | 基于问题本质合理转化突破导数压轴题

函数是贯穿高中数学的一条主线，其中导数是研究函数性质的重要工具，也是高考考查的重点内容，在高考试题中基本处于压轴题的位置，整体难度比较大.尽管高中阶段导数的应用主要聚焦于三个基本问题——求函数图像的切线、判断函数的单调性、求函数的极值和最值，但学生在面对导数解答题时仍普遍存在畏难情绪.究其原因，主要有两个方面：其一，命题者常通过情境包装掩盖问题的本质特征，使得基础考点难以被直接识别；其二，学生在学
题根研究 | 平面向量数量积最值、取值范围问题探究

题根研究 | 平面向量数量积最值、取值范围问题探究

平面向量数量积最值、取值范围问题探究
题根研究 | 含参函数交点问题解题方法及备考策略

题根研究 | 含参函数交点问题解题方法及备考策略

在高中阶段，函数作为学习的重中之重，每年都在高考中占据一席之地.随着高考改革的持续深入，函数内容的考查方式、内容和重点都在不断演变.本文以2024年新高考Ⅱ卷的第6题为例分析含参函数交点问题的解题方法及备考策略.该题聚焦含参函数交点的考查，实际上是在考查学生对数学基础知识的掌握程度，以及他们能否灵活调整解题思路、巧妙运用特殊函数的性质来解决问题.通过深人剖析这道题不仅可以帮助学生更牢固地掌握解题方
题根研究 | 一道含参双零点问题的解法探究

题根研究 | 一道含参双零点问题的解法探究

导数是高考数学的重要考查模块，函数双零点问题又是导数中经常考查的问题.尽管在备考时做了大量练习，总结了许多解题方法和技巧，但应试中面对含参双零点问题时很多同学还是无从下手.事实上，要是能“剥离参数”，找到本源函数，就可以找到解题思路.本文带领同学们学习一种处理含参双零点问题的解题技巧. 1 问题引例题目已知 f（x）=aex-x ：（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）若函数
题根研究 | 一道三角恒等变换教材习题的综合运用

题根研究 | 一道三角恒等变换教材习题的综合运用

1 问题提出综合运用题作为教材习题中层次较高的题，起着引导学生综合运用所学知识，深度解题探索的作用，教学中应深入挖掘此类习题的教学功能，通过不同思路的交流和碰撞，帮助学生构建相关的知识体系，实现真正学会灵活应用所学知识的目标.下面以一道教材中的三角恒等变换习题为例谈谈如何对此类综合运用题进行教学设计. 2 问题解决 2.1认真审题，构建解题思维导图题目（人教A版普通高中教科书数学必修
题根研究 | 凸显思维能力考查助力拔尖人才选拔

题根研究 | 凸显思维能力考查助力拔尖人才选拔

2025年高考已经落下帷幕，数学新高考Ⅰ卷试题依据中国高考评价体系“一核”“四层"“四翼”的整体评价框架，布局合理，内容科学，难度合理.能客观评价考生的学习情况，很好地引导课堂教学，既突出对“四基"全方位、全覆盖考查，又具有深化核心素养立意，多层次、多角度地考查数学思维能力，特别是创新思维能力、数学素养和数学文化，体现高考改革要求，落实数学学科立德树人的育人价值.自中国高考评价体系提出以来，创新性
考题分类评析 | 性质“指数函数与对数函数互为反函数”的灵活应用

考题分类评析 | 性质“指数函数与对数函数互为反函数”的灵活应用

性质“指数函数与对数函数互为反函数”的灵活应用
考题分类评析 | 教你破解 e^x 和In x 的“相聚”题

考题分类评析 | 教你破解 e^x 和In x 的“相聚”题

教你破解 e<sup>x</sup> 和In x 的“相聚”题
考题分类评析 | 三次函数问题的求解策略

考题分类评析 | 三次函数问题的求解策略

三次函数是高中数学中的重要函数模型，近年来在高考中的考查频率和难度逐年提升.它不仅是学习导数、微积分等知识的基石，还在解决实际问题的过程中扮演着不可或缺的角色.三次函数问题的求解需要学生综合运用函数与导数、函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法，并具备较强的观察能力、分析能力和创新意识.因此，掌握三次函数问题的求解策略，对提升学生解题能力具有重要意义. 1三次函数的基本性质三次函数的一
考题分类评析 | 一类与导数有关的抽象函数不等式题型探究

考题分类评析 | 一类与导数有关的抽象函数不等式题型探究

与导数有关的抽象函数不等式问题，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力，是近几年新高考中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现.解答这类问题的有效策略是将式子的外形结构特征与导数运算法则相关联，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题.那么这类问题主要有哪些题型呢？ 1根据导数四则运算法则构造辅助函数函数的基本求导法则有 [f（x）±g（x）]′=f′（x）±g′（x）， [
重点辅导 | 解答指数函数与对数函数问题的关注点

重点辅导 | 解答指数函数与对数函数问题的关注点

指数函数与对数函数是高中数学两类重要的函数，也是高考重点考查的函数类型，常与导数的应用综合进行考查.处理此类问题时，除了要掌握导数的应用知识外，还要重点关注如下几个要点，下面举例分析，供参考. 1指数函数或对数函数所过的定点对于指数函数 y=ax （且 a≠1 ），函数图像恒过定点（0，1）；对于对数函数 y=logax （ ∣a>0 且 a≠ 1），函数图像恒过定点（1，0）.据
重点辅导 | 曲线公切线问题的深度剖析

重点辅导 | 曲线公切线问题的深度剖析

曲线公切线问题是高考的高频考点.这类问题将导数的几何意义、函数的单调性与极值、方程的求解等多个知识点紧密融合，全面考查学生的数学综合素养.由于其难度较大、综合性强，学生在面对此类问题时往往感到棘手.因此，深入剖析曲线公切线问题的题型与解题策略，对学生突破学习难点具有重要意义. 1求公切线方程求两条曲线的公切线方程关键在于利用导数的几何意义来构建等式关系.首先，分别在两条曲线上设定切点 Pl（
重点辅导 | 三角恒等变换问题的解题策略分析

重点辅导 | 三角恒等变换问题的解题策略分析

三角恒等变换是高中数学知识体系的重要组成部分，它不仅是对三角函数基本概念和性质的深化，更是解决众多数学问题的有力工具.本文深人分析三角恒等变换问题的解题策略，通过对常见公式的运用、变形技巧的解析以及典型例题的分析，帮助学生掌握解题方法，提升学生数学思维与解题能力. 1三角恒等变换的基础公式 1）同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系包括 sin2α+cos2α=1 和tan 2）
重点辅导 | 例说对数换底公式的几个应用

重点辅导 | 例说对数换底公式的几个应用

在对数运算中，对数的换底公式且 a≠1 m>0 且 m≠1 作用非凡，它能帮助我们“化异为同”，迅速找到解题的切人点，它是求解对数运算问题的“好帮手”.那么具体说来它有哪些应用呢？本文举例说明. 1对数式的求值与化简对数式的求值与化简是常见的题型，当题目中出现的对数式底数不同时，一般需应用对数的换底公式将它们“化异为同”. 例1求值：（204号（2）log225×log
重点辅导 | 三角函数的上升零点和下降零点在高考中的考查

重点辅导 | 三角函数的上升零点和下降零点在高考中的考查

三角函数一直是高考中的重要考点，其图像与性质囊括了多种知识点和结论，需要教师和学生在教与学的过程中去发现，如正弦函数、余弦函数的零点可以分为上升零点和下降零点，本文将介绍如何利用这一特性解决有关问题. 1 与的上升零点和下降零点我们知道正弦函数 f（x）=sinx 的零点为 kπ （ k∈Z），将 -2π，0，2π，4π，… 这些零点称为正弦函数的上升零点，即 2kπ（k∈Z），将
难点挑战 | 探究双元双域问题的转化求解策略

难点挑战 | 探究双元双域问题的转化求解策略

在一些含有“存在”或“任意"语句表述的函数综合题中，经常出现两个变元 x1，x2 及函数值大小关系.此类问题一般能够转化为求两个函数的最值或求两个函数的值域问题.本文通过对几道典型例题的分类评析，归纳出各类问题的转化方法，旨在总结解题规律、探索解题策略. 1 ∀x1∈A ， ∃x2∈B ，使得 f（x1）=g（x2）能成立问题例1已知函数 .如果对于任意 x1∈[1 2]，总存在 x2
难点挑战 | 分段函数中的等高线问题分类例析

难点挑战 | 分段函数中的等高线问题分类例析

分段函数中的等高线问题分类例析
难点挑战 | 高中数学不等式证明题的典型模型与解题策略分析

难点挑战 | 高中数学不等式证明题的典型模型与解题策略分析

不等式是高中数学的重要内容之一，在函数、数列、解析几何等多个模块都有广泛应用.不等式证明题因其逻辑性强、灵活性高，一直是学生学习的重点和难点.这类题型不仅考查学生对基本数学理论的理解和掌握，还考查其分析问题与解决问题的能力，以及逻辑推理能力和数学思维的深度.然而，在实际教学中发现不少学生在求解不等式证明题时往往存在思路不清、方法单一的现象，尤其在面对较为复杂的综合题时，更是感到束手无策.这种情况不
难点挑战 | 例析与数列求和有关的不等式竞赛题

难点挑战 | 例析与数列求和有关的不等式竞赛题

一般的数列求和，应从其通项入手.但并不是已知一个数列的通项，我们就一定能求出该数列的前 n 项和.事实上，能用基本方法求和（如等差或等比数列求和、分组求和、裂项相消法求和等）的数列是有限的，且形式较为固定.以下就那些不能直接用公式或基本方法求和的数列不等式竞赛题，谈一些个人浅见. 1放缩法当遇到那些用基本方法解决不了的含数列求和的不等式综合题时，常需要根据题设条件的特点，通过对通项变形，利用
方法与技巧 | 不等式恒成立问题的简化策略

方法与技巧 | 不等式恒成立问题的简化策略

导数背景下不等式恒成立问题是近年高考压轴题的常考题型，此类问题的设问方式通常是由所给不等式恒成立，求参数的取值范围.在求解时，可直接求解或通过参变分离后求函数的最值，求解过程中需要对参数的取值范围进行讨论.如果我们能得到不等式成立的必要条件，再对充分性进行证明，可有效减小解题难度，提高解题效率.本文给出三种探究必要条件的方法，现举例说明 1 利用恒成立的本质不等式恒成立，即对于定义域内任意的
方法与技巧 | 函数零点存在定理中取点的思维方向

方法与技巧 | 函数零点存在定理中取点的思维方向

利用函数零点存在定理判断原函数或导函数零点的存在情况时，需要取一些特殊点.由于函数中常常含有参数，如何才能顺利找到符合条件的特殊点，是解题的难点.有时命题组提供的答案，也是直接给出特殊点，并没有说明这些点是如何选取的，让人感觉摸不着头脑.本文提供几种选点的思维方向，供参考. 1直接取特殊点当函数式中含有指数函数时，可优先选择使指数为0的点；含有对数函数时，优先选择使真数为1或与底数相关的点.
方法与技巧 | 巧选妙法比函数速判大小心自明

方法与技巧 | 巧选妙法比函数速判大小心自明

巧选妙法比函数速判大小心自明
方法与技巧 | 指数函数图像性质在解题中的应用策略

方法与技巧 | 指数函数图像性质在解题中的应用策略

在高中数学知识体系中，指数函数占据着极为重要的地位.其独特的图像性质（包括单调性、奇偶性、值域等）为解决各类数学问题提供了丰富的思路和方法.本文深入探究指数函数图像性质在解题中的应用策略，以期帮助读者更好地理解函数本质，提高解题效率. 1奇偶性的应用 1）判断图像判断函数奇偶性是解决函数图像问题的关键.根据奇偶性定义，若函数 f（x）的定义域关于原点对称，f（-x）=f（x），则函数
学科防疫站 | 高考中函数零点问题解答误区剖析

学科防疫站 | 高考中函数零点问题解答误区剖析

函数的零点问题是高考重点内容，且常与导数知识综合考查，题目主要涉及零点个数、零点存在或不存在等设问方式.学生在处理此类问题时易遗忘函数的定义域、忽视隐含信息、非等价变形、遗漏零点的存在条件等，从而出现会而不对或对而不全的情况.下面对这些解题误区举例剖析，以期帮助同学们有效避错. 1非等价变形处理函数零点个数问题的常用方法是将其变形转化为两个函数图像的交点问题，在转化的过程中若出现不等价变形，
教与学 | 探索数学课堂的“思考密码”：问题驱动教学实录

教与学 | 探索数学课堂的“思考密码”：问题驱动教学实录

在数学教育领域，如何激发学生的学习兴趣、提升学习效率一直是备受关注的话题.传统教学模式往往侧重于知识的传授，学生被动接收知识，难以真正培养其思考能力与解决问题能力.问题驱动教学法以其独特的优势，为课堂注入了新的活力.在课堂实践中，笔者采用问题驱动的方式，引导学生主动思考、积极探索.这种教学方式不仅激发了学生的学习兴趣，更能让学生在面对问题时站在对立统一的高度去分析和解决，真正实现知识的内化与能力的

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